基于坐标变换原理的空间直线度误差评定

　　0 引言

　　直线度误差是指实际直线对其理想直线的变动量。目前，对于给定平面内的直线度误差和给定方向的直线度误差评定已较为成熟，而对于空间直线度误差的研究仍处于探索阶段。文献[1]提出了用最小平行六面体包络的方法计算空间直线度误差，但其只能提供误差计算的近似值。文献[2]提出用最小圆柱包络法实现对空间直线度误差的评定，但是需要解非线性方程组。文献[3]、文献[4]分别提出了基于遗传算法的空间直线度误差评定方法，但是其计算结果与变量初始变化范围的选取及其算法的参数选择有很大关系。文献[5]提出了使用粒子群算法对空间直线度误差进行评定，但依然存在设置参数较多，算法的鲁棒性欠佳等问题。

　　本文根据坐标变换原理将空间直线度误差评定问题转化为给定平面内的直线度误差和圆度误差评定问题，将包容实际空间直线上各个点的最小圆柱体直径的测量转化为平面内包容各个点的最小外接圆的测量，算法简单，避免了非线性变换，精确度较高。

　　1 平面内直线度误差评定的方法

　　常用的平面内直线度误差评定方法主要有最小二乘法、两端点连线法和最小区域法。GB11336-2004中规定将最小区域法作为最终的评定基准。最小区域算法的关键是寻找包容所有测点且距离为最小的两平行直线Lz1和Lz2，而根据最小二乘原理可知，最小二乘拟合直线Lm的斜率 k 与最小包容区域的两平行直线Lz1和Lz2的斜率是最接近的。因此，以Lm为基准，寻找Lm上方的最高点G1、次高点G2和Lm下方的最低点D1、次低点D2。分别求出直线G1G2和直线D1D2的斜率，取与Lm的斜率k最接近的一条连线，这条直线可能是两高点的连线G1G2，它与点D1或点D2构成平行线包容区域，也可能是两低点的连线D1D2，它与点G1或点G2构成平行线包容区域，最小区域法评定平面直线度误差如图1所示，然后判断该区域是否满足“高-低-高”、“低-高-低”的相间准则，若满足条件则直线G1G2或D1D2即为理论包容直线。

　　2 空间直线坐标变换

　　二维坐标变换如图2所示，设二维坐标系XOY与X'OY'的夹角为θ，根据坐标变换原理，坐标系XOY中点P(x，y)在坐标系X'OY'中为P'(x'，y')，则有:

　　现设有n个测量点Pi(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)为空间直线测量点，这些点在平面YOZ上的投影坐标为Pi(0，yi，zi)(i=1，2，…，n)，在平面YOZ内使用上述平面内直线度评定方法可以得到理论包容直线L1的斜率k1，设L1与Z轴的夹角为α，则α=π/2-arctank1。现将O-XYZ坐标系绕X轴旋转α角度，形成坐标系O-X'Y'Z'使理论包容直线L1与X'OZ'面平行，如图3所示。