Householder变换在数码相机检校中的应用

     随着数码相机分辨率的不断提高,数码相机将成为近景摄影测量的首选。同用胶片摄影机一样,将数码相机应用于摄影测量,需要事先检校其主点、主距、光学畸变系数等参数,以保证摄影测量数据的后处理精度。数码相机的检校是在专门的检校场中进行。检校分单片和多片交会法。在按照单片及多片后方交会法对相机检校中发现:为求算相机参数所组成的方程系数矩阵的条件数较大,法方程呈严重的病态;解算结果不稳定。经分析,在进行检校中,所选取的的标志点之间共线、共面的情况很普遍,具有独立的观测并不多,是参数求解中病态产生的主要原因。针对数码相机检校中出现的由于观测结构不理想造成的病态问题,文献[2]给予了讨论并病态性的方法,效果较好。本文提出利用Household-er变换直接进行参数求解,同样也可以降低病态性的影响,提高解算结果的可靠性。

    1 Householder变换

    1.1 Householder变换原理

    设向量uIRn,+u+2=1,则初等矩阵

H =I-2uuT(1)

    上式为Householder变换矩阵,或镜面映射矩阵,通常记作H矩阵。相应的,Householder变换又称为镜面映射变换。可以证明[1],H矩阵是对称正交矩阵,从而有:

H =HT=H-1。

    若向量x=(x1,x2,+,xn, )TIRn,由线性变换y=Hx可得:

x-y = (2uTx)u (2)

    其中2uTx是标量,那么向量x-y与向量u平行。记p为在n维线性空间中过原点与向量u垂直的超平面,如图1所示。由于向量x与向量y的长度相等,于是在几何上x与y关于超平面p对称。若把p看作一面镜子,那么y与x互为镜面映射,其中u为镜面单位法向量。u可表示为:

   对于向量x= (x1, x2,+, xn)TIRn选择一单位向量e1,则可找到一个镜面映射矩阵使y =Hx =Re1,这里R=-sign(xT•e1)+x+2, e1= (1, 0,+,0)T。镜面单位法向量为:

    1.2 H矩阵的表达形式

    Householder矩阵的一个关键性质是它能被用来把零元引进向量中,因此,利用镜面映射变换可以把矩阵变换为上三角阵。这项工作的关键是找到一个镜面映射矩阵H。

    设AIRm×n,A的列向量可记作为aj=(a1j,a2j,+,amj)T,j=1,2,+,n。令A1=A = (a1,a2,+,an),取x =a1= (a11,a21,+,am1)T。求出R1=?+x+2,

    又取x=(a(2)22,a(2)32,+,a(2)m2)T,xIRm-1,构造H2=Im-1-2u2uT2,Hc2IR(m-1)×(m-1),从而得到m@m矩阵:

    如此继续下去,直到r =min(m -1),n)步为止,此时有:

H =Hr•Hr-1+H1(5)

    经过上述变换,最终Ar+1变为上三角形或上梯形矩阵。故上述变换在参数求解中非常有利。