三维塑性极限分析下限法原理及应用

　　1 前 言

　　实际工程中，人们最感兴趣的不是结构的变形过程，而是结构的极限荷载。早在 20 世纪 50 年代初，Drucker 以稳定材料为基础提出与屈服条件相关联的流动法则，随后 Drucker 和 Prager 把静力场和速度场结合起来并提出极值原理，建立了土体极限分析理论。1975 年 W. F. Chen发表专著《极限分析和土的塑性力学》，阐明了极限分析理论在土工问题中的应用。极限状态是结构物在破坏与未破坏之间的临界状态，它应满足静力平衡条件、屈服条件、流动法则、边界条件，全面满足上述条件的解答即为反映实际情况的真实解。但是，岩土材料的不连续性、各向异性和非线性的本构关系以及结构在破坏时呈现的体胀、软化、大变形等特性，使得真实解的求得变得几乎不可能。为此，人们采用塑性力学中的上、下限定理，分别求得极限荷载的上限解、下限解，从而估计出极限荷载的变化范围。近年来，由于计算机水平的飞速发展，人们对塑性极限分析的研究逐渐由二维平面状态向三维空间领域发展。清华大学的刘应华[1, 2]、澳大利亚学者S. W. Sloan[3]等都对三维塑性极限分析有过深入地研究，本文是在他们的研究基础上对三维塑性极限分析做进一步的探讨。

　　假设在土体中某一应力场满足静力平衡条件、屈服条件、应力边界条件，这一应力场称为静力许可应力场。下限定理认为：在所有的静力许可应力场对应的荷载中，最大的荷载为极限荷载，与极限荷载相应的静力许可应力场为结构极限状态的应力场。本文在极限分析下限定理的基础上，运用有限单元法和非线性数值规划方法，建立静力许可应力场，而求得极限荷载的最大值。其基本思路是：把土工结构离散成空间四面体线性单元，构造相应的单元应力模式，根据下限定理，建立满足平衡条件、应力连续条件、应力边界条件、屈服条件的下限法数学模型，引入非线性规划的数值方法寻求问题的下限解。

　　2 基本方程

　　本文采用空间 4 节点四面体单元对计算区域进行离散，单元内部应力{σ }呈线性变化，与节点应力{σ }e的关系可表示为：

其中为结点i 的应力，[ψ ]为应力的插值函数，I 为 6 阶单位矩阵;iN 为单元形函数，其表达式见文^[4] 。

　　与一般的有限单元法不同的是，这里的每一个节点编号仅属于某一特定单元，如图 1 所示的几何点 B 是 E1 单元中的节点 3 和 E2 单元中的节点 6。单元之间的力学关系通过单元之间的接触面应力连续条件来表示。

　　2.1 平衡方程

　　在各单元中，任一点的应力均应满足如下平衡条件：