涡流检测中轴对称场的快速计算

　　1　引言

　　涡流无损检测是无损检测领域的5大常规检测方法之一,是成品或半成品金属材料和金属设备在役检查表面缺陷的一种主要探伤技术,广泛应用于航空航天、国防工业、汽车工业、核电站等部门。

　　近年来在涡流检测中提出的场量分析法[1]克服了阻抗分析法检测速度慢及检测结果的准确性受仪器使用者经验限制的主要缺点,在该方法中,根据接收线圈阵列测得的磁场分布用于分析、判断缺陷的位置、大小和形状。

　　为了快速准确地重构缺陷,要求快速计算激励线圈产生的轴对称磁场及导体中涡流,目前求解这一问题比较成熟的方法有场域剖分法,其中包括有限元法、有限元与边界元组合法等[2,3],但场域剖分法计算量大、计算时间长,很难应用于逆问题的求解。解析求解这一问题的关键在于若干无穷积分的计算,这类积分类似天线问题中的Sommerfeld积分[4]。计算位于导体边界上的等效线圈产生的轴对称磁场和涡流场将有助于我们快速重构缺陷,利用多个等效线圈产生的涡流场可以等效实际的由缺陷或裂缝引起的扰动涡流场,从而根据这一涡流场快速重构缺陷,这一问题的解析求解也归结为若干无穷积分的计算。

　　本文根据解析求解轴对称场时遇到的无穷积分的被积函数特点,给出一种简单有效的数值积分方法,根据被积函数的快速振荡特性,按照不同Bessel函数的交叉零点划分子区间进行积分,同时在各个子区间采用自适应Simpson积分法,以保证计算精度。当ρ增大时,Bessel函数随积分变量λ振荡的速率加快,周期缩短,从而显著加长计算时间,为了加速积分的收敛,本文导出一渐近项,将被积函数减去这一项而获得快速收敛的积分,极大地减少了计算无穷积分的时间,显著提高了轴对称场的计算效率。

　　2　公式推导

　　图1所示为平板导体上方平放一半径为as的圆环线圈,其正弦激励电流为I(相量),距离导体表面为z′。取圆柱坐标系(ρ,θ,z),激励线圈所产生的为轴对称电磁场,为便于求解,把场域分为4个区域:

　　在区域分界面上,电场强度的切线分量连续,磁场强度切线分量的跃变量为面电流密度Js,因此,边界条件为:

　　应用分离变量法可求得各区域动态矢量位的周向分量。我们只关注区2的磁场(测量区)和区3的涡流,因此下标1、2、3、4可略去,它们分别为:

　　3　无穷积分收敛性的改进

　　式(8)~(11)的计算归结为4个无穷积分的计算,为了计算方便,将各无穷积分式中的积分变量λ对各自的线圈半径归一化,即令ξ=λa,于是,各积分式为:

　　上述数值积分的计算时间主要取决于计算被积函数的次数,因此,取决于被积函数的衰减速度以及积分截断前Bessel函数振荡的周期数。在涡流无损检测中,测量点离被测件很近,z和z′值与线圈半径相比一般很小,因此,式(12)~(15)中被积函数的指数因子衰减较慢,而分式因子中分子的ξ幂次大于或等于分母的幂次,这使积分收敛较慢,特别是式(13)和式(15),收敛很慢。当ρ值较大时,Bessel函数振荡速率加快,周期缩短,显著增加数值积分计算时间,图2和图3分别表示式(13)和式(15)的被积函数实部特性。